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之前看sift源码中有个概念，就是对一张图像 I 0 I_0 I0，先进行标准差为 σ 1 \sigma_1 σ1的高斯核卷积，得到 I 1 I_1 I1，再基于 I 1 I_1 I1进行标准差为 σ 2 \sigma_2 σ2的高斯核卷积得到图像 I 2 I_2 I2，和 I 0 I_0 I0直接进行一次标准差为 σ \sigma σ的高斯核的卷积得到 I 2 I_2 I2之间的关系。写成表达式就是 I 0 ∗ g 1 ∗ g 2 I_0*g1*g2 I0∗g1∗g2是否等于 I 0 ∗ ( g 1 ∗ g 2 ) I_0*(g1*g2) I0∗(g1∗g2)，如果成立 g = g 1 ∗ g 2 g=g1*g2 g=g1∗g2是个什么东东。结论是等号成立的，并且 g g g也是一个标准差为 σ \sigma σ的高斯分布的概率密度函数，且 σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2 \sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2 σ2=σ12+σ22。结合律留给有兴趣的读者，下面证明方差之间的关系。
设 g 1 , g 2 g_1,g_2 g1,g2是两个1维正态分布的概率密度函数：
g 1 ( x ) = 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 g_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}{e}^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} g1(x)=2πσ11e−2σ12(x−μ1)2 g 2 ( x ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 g_2(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}} g2(x)=2πσ21e−2σ22(x−μ2)2在无穷区间上的积分，被积函数的自变量发生平移并不影响积分结果，为了简化计算，不妨设 μ 1 = μ 2 = 0 \mu_1=\mu_2=0 μ1=μ2=0.
从而，f ( t ) = g 1 ( x ) ∗ g 2 ( x ) f(t)=g_1(x)*g_2(x) f(t)=g1(x)∗g2(x)
= ∫ − ∞ ∞ g 1 ( x ) g 2 ( t − x ) d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g_1(x)g_2(t-x)dx =∫−∞∞g1(x)g2(t−x)dx = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 2 σ 1 2 − − ( t − x ) 2 2 σ 2 2 d x =\displaystyle{\frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2}{2\sigma_1^2}-\frac{-(t-x)^2}{2\sigma_2^2}}}dx =2πσ1σ21∫−∞∞e2σ12−x2−2σ22−(t−x)2dx下面对积分部分进行计算
∫ − ∞ ∞ e − x 2 2 σ 1 2 − − ( t − x ) 2 2 σ 2 2 d x \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2}{2\sigma_1^2}-\frac{-(t-x)^2}{2\sigma_2^2}}dx ∫−∞∞e2σ12−x2−2σ22−(t−x)2dx = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 σ 2 2 − σ 1 2 ( t − x ) 2 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-x^2\sigma_2^2-\sigma_1^2(t-x)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =∫−∞∞e2σ12σ22−x2σ22−σ12(t−x)2dx= ∫ − ∞ ∞ e x 2 σ 2 2 + σ 1 2 t 2 + σ 1 2 x 2 − 2 σ 1 2 t x − 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{x^2\sigma_2^2+\sigma_1^2t^2+\sigma_1^2x^2-2\sigma_1^2tx}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =∫−∞∞e−2σ12σ22x2σ22+σ12t2+σ12x2−2σ12txdx
= ∫ − ∞ ∞ e ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ( x − σ 1 2 t σ 1 2 + σ 2 2 ) 2 − σ 1 4 t 2 ( σ 1 2 + σ 2 2 ) 2 ⋅ ( σ 1 2 + σ 2 2 ) + σ 1 2 t 2 − 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2-\frac{\sigma_1^4t^2}{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)^2}\cdot(\sigma_1^2+\sigma_2^2)+\sigma_1^2t^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2−(σ12+σ22)2σ14t2⋅(σ12+σ22)+σ12t2dx
= ∫ − ∞ ∞ e ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ( x − σ 1 2 t σ 1 2 + σ 2 2 ) 2 + σ 1 2 σ 2 2 t 2 σ 1 2 + σ 2 2 − 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2+\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2+σ12+σ22σ12σ22t2dx
= ∫ − ∞ ∞ e ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ( x − σ 1 2 t σ 1 2 + σ 2 2 ) 2 − 2 σ 1 2 σ 2 2 − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 d x =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}-\frac{t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dx =∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2−σ12+σ22t2dx
= e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 ∫ − ∞ ∞ e ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ( x − σ 1 2 t σ 1 2 + σ 2 2 ) 2 − 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)(x−σ12+σ22σ12t)2dx
前面说过，无穷积分上被积函数的自变量平移操作不影响积分值（可以用换元法证明，令 y = x − σ 1 2 t σ 1 2 + σ 2 2 y=x-\frac{\sigma_1^2t}{\sigma_1^2+\sigma_2^2} y=x−σ12+σ22σ12t, d x = d y dx=dy dx=dy，换元必换限，这里上下限依旧是正负无穷，不变）
上式 = e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 ∫ − ∞ ∞ e ( σ 1 2 + σ 2 2 ) x 2 − 2 σ 1 2 σ 2 2 d x =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)x^2}{-2\sigma_1^2\sigma_2^2}}dx =eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−2σ12σ22(σ12+σ22)x2dx= e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 ∫ − ∞ ∞ e − ( σ 1 2 + σ 2 2 2 σ 1 σ 2 x ) 2 d x =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}x)^2}dx =eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−(2σ1σ2σ12+σ22x)2dx
令 y = σ 1 2 + σ 2 2 2 σ 1 σ 2 x y=\frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}x y=2σ1σ2σ12+σ22x,则 d x = 2 σ 1 σ 2 σ 1 2 + σ 2 2 d y dx=\frac{\sqrt{2}\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dy dx=σ12+σ222σ1σ2dy，换元必换限，上下限依旧是正负无穷不变，从而有
原式 = e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 ∫ − ∞ ∞ e − y 2 ⋅ 2 σ 1 σ 2 σ 1 2 + σ 2 2 d y =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}\cdot\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dy =eσ12+σ22−t2∫−∞∞e−y2⋅σ12+σ222σ1σ2dy= e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 2 σ 1 σ 2 σ 1 2 + σ 2 2 ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy =eσ12+σ22−t2σ12+σ222σ1σ2∫−∞∞e−y2dy
= e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 2 σ 1 σ 2 σ 1 2 + σ 2 2 π =e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\sqrt\pi =eσ12+σ22−t2σ12+σ222σ1σ2π
其中 ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt\pi ∫−∞∞e−y2dy=π，一般的高数书上都有，不等式放缩证明收敛性；平方后取极坐标，再两边夹取极限得到收敛的值。
最后得到
f ( t ) = 1 2 π σ 1 σ 2 ⋅ e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 ⋅ 2 σ 1 σ 2 σ 1 2 + σ 2 2 ⋅ π f(t)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\cdot e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\cdot\frac{\sqrt2\sigma_1\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\cdot\sqrt\pi f(t)=2πσ1σ21⋅eσ12+σ22−t2⋅σ12+σ222σ1σ2⋅π = 1 2 π σ 1 2 + σ 2 2 e − t 2 σ 1 2 + σ 2 2 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}e^{\frac{-t^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} =2πσ12+σ221eσ12+σ22−t2 = 1 2 π σ e − t 2 σ 2 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-t^2}{\sigma^2}} =2πσ1eσ2−t2 即 f ( t ) f(t) f(t)是标准差为 σ \sigma σ的高斯分布的概率密度函数，其中 σ 2 = σ 1 2 + σ 2 2 \sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2 σ2=σ12+σ22，证毕。从理论上说，一张图先后经过 σ 1 , σ 2 \sigma_1,\sigma_2 σ1,σ2的高斯模糊和直接经过 σ \sigma σ的模糊后的状态是一样的，但是实际操作中，由于高斯核模板大小并不是无穷的，而是取了有限个元，所以其中的误差累计，具体会是什么结果也难以预料，只能多做做实验进行对比了。而在sift尺度空间的构造中，因为 σ \sigma σ比 σ 2 \sigma_2 σ2大，所以对应的高斯模板也会大一点，运算量就大了。也就是在 I 0 , I 1 I_0,I_1 I0,I1已知的情况下，由 I 1 I_1 I1得到 I 2 I_2 I2比由 I 0 I_0 I0得到 I 2 I_2 I2的实际运算量会小点。
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